Irisan Dua Lingkaran | Astrid Rahayu's Blog | SMAN 1 Gemolong | XI IPA 1

r2serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1:

Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0 
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut berpotongan!

Penyelesaian

Syarat dua lingkaran berpotongan adalah jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dengan r1 dan r2 adalah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2

L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3)
dan

L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0

mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3).

Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2.

Dengan demikian, kedua lingkaran berpotongan.

Contoh 2:

Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0 
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0 
Tunjukkan bahwa lingkaran saling bersinggungan di luar!

Penyelesaian

Syarat dua lingkaran bersinggungan di luar adalah
M1M2 = r1 + r2

L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (6) , -1/2 (-4)) = (-3, 2)
dan

L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0

mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-12) , -1/2 (20)) = (6 , -10)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-3 , 2) ke (6 , -10).

Karena r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Contoh 3:

Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan!

Penyelesaian

L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6)
dan

L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0

mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1)
dan

Ada dua jenis lingkaran dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua lingkaran tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua lingkaran tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik pusat lingkaran (M1M2) adalah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat).

Sekarang, kita akan mengecek titik pusat dari kedua lingkaran tersebut untuk menunjukkan kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam.

Titik pusat lingkaran pertama terhadap lingkaran kedua.

Substitusi pusat (-10,6) terhadap lingkaran L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0

Karena
K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran kedua.

Titik pusat lingkaran kedua terhadap lingkaran pertama.

Substitusi pusat (2,1) terhadap lingkaran L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0

Karena
K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran pertama.

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar.

Syarat dua lingkaran tidak berpotongan luar adalah
M1M2 > r1 + r2

M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1)

Karena
M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
maka M1M2 > r1 + r2

Dengan demikian, kedua lingkaran tidak berpotongan di luar.

Contoh 4:

Diketahui jari-jari lingkaran L1 yaitu r1 = 13cm dan jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm.

Jika jarak titik pusat kedua lingkaran adalah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut!

Penyelesaian

Diketahui :
• r1 = 13cm
• r2 = 6cm
• M1M2 = 25cm

Ditanyakan : panjang garis singgung persekutuan luar PQ

Jadi , panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm.

•  

IRISAN DUA LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran

 

Gambar 2. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.

Gambar 2. Irisan kerucut berbentuk lingkaran.

Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut ini disajikan definisi lingkaran.

 

Pengertian Lingkaran :

 

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.

 

1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r

 

Amati Gambar 3.

Gambar 3. Lingkaran Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r.

Diketahui, titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan pada sumbu-x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' adalah segitiga siku-siku di P'.

 

Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut.

 

OP² = (OP')² + (P'P)²

↔ r² = x² + y²

 

Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut.

 

L= {(x, y) | x² + y² = r²}

 

Pandang titik P₁(x₁, y₁) pada ΔOP₁P'₁. Pada segitiga tersebut berlaku x₁² + y₁² = r₁².  

 

Pandang titik P₂(x₂, y₂) pada ΔOP₂P₂'. Pada segitiga tersebut berlaku x₂² + y₂² = r₂², dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada lingkaran ini berlaku x² + y² = r².

 

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah :

 

x² + y² = r².

 

Contoh Soal 1 :

 

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari .

 

Pembahasan :

Jari-jari r =  sehingga  = 12.

Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari  adalah x² + y² = 12.

Contoh Soal 2 :

 

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik (–6, –8).

 

Penyelesaian :

 

Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah :

 

x² + y² = r² .... (1)

 

Oleh karena lingkaran melalui titik (–6, –8) maka dengan mensubstitusikan (–6, –8) pada persamaan (1), diperoleh :

 

x² + y² = r² 

↔ (–6)² + (–8)² = r²

↔ r²  = 36 + 64 = 100

↔ .r =  =10

Kemudian, r² = 100 substitusikan pada persamaan (1), diperoleh x² + y² = 100.

 

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x² + y² = 100.

 

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r

 

Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b) dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Lingkaran dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r.

Titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q.

 

Diketahui jarak TQ = (x – a) dan jarak PQ = (y – b). Pada segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut.

 

TP² = TQ² + PQ² ↔ r² = (x – a)² + (y – b)²

 

Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut:

 

L: {(x, y)(x – a)² + (y – b)² = r²}

 

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r adalah :

 

(x – a)² + (y – b)² = r²

 

Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar (baku).

 

Contoh Soal 3 :

 

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,–1) dengan jari-jari .

 

Persamaan lingkaran standar (x – a)² + (y – b)² = r²

 

Untuk pusat (2,–1) dengan jari-jari  , diperoleh :

(x – 2)² + (y – (–1))² =  ↔ (x – 2 )² + (y + 1)² = 18

Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 2 )² + (y + 1)² = 18.

 

Contoh Soal 4 :

 

Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (3,–4) dan menyinggung garis 4x – 3y – 49 = 0.

Penyelesaian :

 

Rumus jarak dari titik T (x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0 adalah :

Jarak dari pusat T (3,–4) ke garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitu :

Jadi, persamaan lingkarannya adalah :

 

(x – 3)² + (y + 4)² = 25.

 

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

 

Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu :

 

(x – a)² + (y – b)² = r²

 

Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh :

 

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – r²) = 0

x² + y² + Ax + By + C = 0

 

dengan A = –2a; B = –2b; dan C = (a² + b² – r²); A, B, dan C bilangan real. Jadi,

 

x² + y² + Ax + By + C = 0

 

adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = –2a, B = –2b, C = a² + b² – r², A, B, dan C bilangan real.

 

Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda.

 

Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh :

 

x² + y² + Ax + By + C = 0

(x² + Ax) + (y² + By) = – C

Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran  dan jari-jari lingkaran 

 

Contoh Soal 5 :

 

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 3 = 0.

 

Jawaban :

 

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah

 

x² + y² + Ax + By + C = 0

 

Dengan demikian, A = –4, B = 6, dan C = –3.

Contoh Soal 6 :

 

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 2x² + 2y² – 4x –12y = 101.

 

Penyelesaian :

 

Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti berikut.

 

2x² + 2y² – 4x – 12y – 101 = 0 ↔ x² + y² – 2x – 6y – () = 0

Dengan demikian, A = –2, B = –6, dan C = – ()

4. Posisi Titik terhadap Lingkaran

 

Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)² + (y – 2)² = 9 diperlihatkan pada Gambar 5.

Gambar 5. Bentuk geometris persamaan lingkaran (x– 2)2 + (y – 2)2 = 9.

Pada gambar itu tampak bahwa titik P₁ (1, 3) terletak di dalam lingkaran, titik P₂ (5, 2) terletak pada lingkaran, sedangkan titik P₃ (6, –3) terletak di luar lingkaran.

 

Anda dapat mengetahui posisi titik P(x₁, y₁) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P(x₁, y₁) ke pusat lingkaran T(a, b).

Gambar 6. Posisi titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r.

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang dari jari-jari lingkaran maka titik P(x₁, y₁) berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(a). Secara matematis ditulis |PT| < r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² < r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C < 0

 

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke pusat lingkaran T(a, b) sama dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x₁, y₁) berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(b). 

 

Secara matematis, ditulis |PT| = r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C = 0

• Jika jarak titik P(x₁, y₁) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih dari jari-jari lingkaran maka titik P(x₁, y₁) berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar 6(c).

 

Secara matematis ditulis |PT| > r

(x₁ – a)² + (y₁ – b)² > r² atau,

x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + C > 0

 

Contoh Soal 7 :

 

Tentukanlah posisi titik A(5, 1), B(4, –4), dan C(6, 3) terhadap lingkaran dengan persamaan x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

 

Jawaban :

 

Persamaan lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 dapat diubah sebagai berikut.

 

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

(x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0

(x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) – 12 = 0 + 4 + 9 ... kedua ruas ditambah 4 dan 9

(x – 2)² + (y + 3)² – 12 = 13

(x – 2)2 + (y + 3)² = 25

 

Titik A (5, 1) terletak pada lingkaran sebab (5 – 2)² + (1 + 3)² = 25.

 

Titik B (4, –4) terletak di dalam lingkaran sebab :

 

(4 – 2)² + (–4 + 3)² < 25.

 

Titik C (6, 3) terletak di luar lingkaran sebab :

 

(6 – 2)² + (3 + 3)² > 25.

 

5. Posisi Garis terhadap Lingkaran

 

Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran :

 

L: x² + y² + Ax + By + C = 0.

 

Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah :

 

x² + y² + Ax + By + C = 0

x² + (mx + n)² + Ax + B (mx + n) + C = 0

x² + m²x² + 2mnx + n² + Ax + Bmx + Bn + C = 0

(1 + m²)x² + (2mn + A + Bm)x + n² + Bn + C = 0

 

Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah :

 

D = b² – 4ac

D = (2mn + A + Bm)² – 4(1 + m²) (n² + Bn + C)

 

• Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan.

 

Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar 7(a).

 

• Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama.

 

Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar 7(b).

 

• Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 7(c).

Gambar 7. Posisi Garis terhadap Lingkaran.

Contoh Soal 8 :

 

Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + 2 dan lingkaran L dengan persamaan x² + y² = 4. Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi.

 

Jawaban :

 

y = mx + 2 ; maka, y² = (mx + 2)² = m² x² + 4m x + 4

x² + y² = 4 ↔ x² + m²x² + 4mx + 4 = 4

↔ (1 + m2)x² + 4mx = 0

 

Diskriminan D = (4m)² – 4 (1 + m²) (0)

 

D = 16 m²

 

Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D > 0.

 

Dengan demikian, 16m² > 0

↔ m² > 0

↔ m > 0

maksudnya posisi kedua lingkaran yang dibagi menjadi beberapa jenis. Untuk memudahkan mempelajari materi kedudukan dua lingkaran, sebaiknya kita menguasai dulu materi "persamaan lingkaran" dan "jarak dua titik" yang bisa dipelajari pada materi "irisan kedua lingkaran".

Penjabaran Kedudukan Dua Lingkaran

       Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R>r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

i). L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, Syarat : PQ=0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (sepusat).

ii). L2 terletak di dalam L1 , syarat : PQ<r<R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 yang disebut juaga tidak konsentris.

iii). L1 dan L2 bersinggungan di dalam, syaratnya : PQ=R−r

iv). L1 berpotongan dengan L2 , syaratnya : r<PQ<R.

v). L1 berpotongan dengan L2 , syaratnya : r<PQ<R+r.

vi). L1 dan L2 bersinggungan di luar, syaratnya : PQ=R+r

vii). L1 terletak di luar L2 , syaratnya : PQ>R+r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.

viii). L1 ortogonal (tegak lurus) L2 , syaratnya : PQ2=R2+r2 .

Keterangan : PQ= jarak titik P dan Q.

Catatan : Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita hitung dulu jari-jari dan titik pusat masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, lalu cek apakah jarak pusat dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana seperti syarat di atas yang ada 8 syarat.

Contoh :
1). Tentukan kedudukan lingkaran L1:(x−1)2+(y+3)2=25 dan linkaran L2:(x+2)2+(y−1)2=9.
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran.
L1:(x−1)2+(y+3)2=25
Jari-jari : r2=25→r=5 sebagai R=5
Pusat lingkaran : A(a,b)=A(1,−3)

L2:(x+2)2+(y−1)2=9
Jari-jari : r2=9→r=3
Pusat lingkaran : B(a,b)=B(−2,1)
*). Jarak titik pusat kedua lingkaran : AB
jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1)
AB=(−2−1)2+(1−(−3))2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9+16−−−−−√=25−−√=5
*). Cek kedudukan kedua lingkaran, AB=5,R=5,r=3
AB=0 (tidak memenuhi)
AB<r<R (tidak memenuhi)
AB=R−r (tidak memenuhi)
r<AB<R (tidak memenuhi)
r<AB<R+r (memenuhi)
AB=R+r (tidak memenuhi)
AB>R+r (tidak memenuhi)
AB2=R2+r2 (tidak memenuhi)
Karena yang memenuhi r<AB<R+r , maka kedua lingkaran berpotongan.!
Untuk lebih jelasanya, berikut gambar kedua lingkarannya :

Menentukan titik potong atau titik singgung dua lingkaran

       Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, yaitu :
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.
*). Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, lalu tentukan nilai x dan y .

Contoh :
2). Tentukan titik potong kedua lingkaran pada soal nomor 1 di atas.
Penyelesaian :
*). Menjabarkan kedua persamaan lingkaran.
L1:(x−1)2+(y+3)2=25→x2+y2−2x+6y=15
L2:(x+2)2+(y−1)2=9→x2+y2+4x+−2y=4
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran ,
x2+y2−2x+6y=15x2+y2+4x+−2y=4−6y+8y=11−
*). Substitusi garis ke lingkaran kedua
−6x+8y=11→y=18(11+6x)
x2+y2+4x+−2yx2+[18(11+6x)]2+4x+−2[18(11+6x)]x2+164(36x2+132x+121)+4x−28(11+6x)64x2+(36x2+132x+121)+256x−16(11+6x)64x2+(36x2+132x+121)+256x−171−96x100x2+292x−30650x2+146x−153a=50,b=146,c=4=4=4(kali 64)=256=256=0(bagi 2)=0=−153
Gunakan rumus ABC : x=−b±b2−4.a.c√2a pada persamaan kuadrat.
50x2+146x−153a=50,b=146,cxxxxxx1xxx2=0=−153=−b±b2−4.a.c−−−−−−−−√2a=−146±1462−4.50.(−153)−−−−−−−−−−−−−−−√2.50=−146±51916−−−−−√100=−146±227,8100=81,8100=0,818=0,8=−146−227,8100=−373,8100=−3,738=−3,7
*). Substitusi nilai x ke persamaan garis y=18(11+6x)
x1=0,8→y1=18(11+6x)=18(11+6(0,8))=1,98
x2=−3,7→y2=18(11+6x)=18(11+6(−3,7))=−1,4
Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).

         Demikian pembahasan materi Kedudukan Dua Lingkaran. Selanjutnya silahkan baca juga materi "garis singgung persekutuan lingkaran", "luas dan keliling irisan dua lingkaran", dan "kuasa pada lingkaran".